Шу сабабли ўқувчиларни чалғитмаслик учун дарҳол амалий асосларни баён киламиз. Кунлардан бир кун инглиз, испан ва немис маълум бир кўрсаткични битта ғайриодатий – хаёлда ўйлаб топишган – кристаллда ҳисоблаб чиқишга уриниб кўрдилар. Улар ҳеч нарсага эриша олмадилар. Лекин шунга қарамай, буни умуман ҳисоблаб чиқиш имкони йўқлигини исботлаб бердилар. Кимдир (ҳатто физиклар орасида ҳам) буларнинг барчаси бемаънилик ва бекорчилик деб ҳисоблаши мумкин. Лекин кимдир бу ерда реал воқелик ҳақида қандайдир муҳим ҳақиқат яширинган деб ҳисоблаши мумкин. Ўзингиз ўйлаб кўринг,... қолаверса, ҳаммаси тартиб бўйича.
1-қисм. Парадокс
Одамлар учун мантиқка ишониш хос ва одатда у одамларга панд бермайди. Атрофимиздаги олам мантиққа бўйсунишига ҳамма шунчалик кўникиб қолганки, буни ҳеч ким ҳис қилмайди ҳам. Аксинча, мантиқ издан чиққан ҳолларда ҳамма ҳайратга тушади. Баъзида шундай рўй беради. Қўлларингизга назар солинг.
Бир кутубхона ходимлари ҳамма китобларни иккита катта жилд-каталогга киритишга қарор қиладилар. Биринчи каталогда ўзига ҳавола мавжуд бўлган барча китоблар санаб ўтилади. Иккинчи каталогда – ўзига ҳавола мавжуд бўлмаган китоблар.
Ҳамма иш тугатилгач, кутубхоначилар бу икки каталогнинг ўзи ҳам китоб саналади ва уларни каталоглардан бирига киритиш лозим деб ҳисоблайди. Биринчи каталог билан хаммаси оддий ва тушунарли бўлди. Уни биринчи каталогга киритиш мумкин: шунда биринчи каталог ўзига қилинган ҳаволадан иборат бўлади – ва биринчи каталогга тўғри киритилган бўлади. Қолаверса, агар уни иккинчи каталогга киритиб, биринчи каталогга киритмасак ҳам ҳеч нарса қилмайди – шунда биринчи каталогда ўзига қилинган ҳавола бўлмайди ва у иккинчи каталогга тўғри киритилган бўлади.
Лекин иккинчи каталогни қаерда киритиш керак? Уни икинчи каталогга киритиш мумкиндай бўлиб кўринади, лекин унда иккинчи каталогда ўзига нисбатан ҳавола пайдо бўлади ва шу сабабли уни дарҳол иккинчи каталогдан чиқариб ташлаш ва биринчи каталогга киритиш лозим бўлади. Лекин иккинчи каталогдан ўзига нисбатан ҳавола чиқариб ташланиши билан унинг биринчи каталогда бўлиши учун ҳеч қандай асос қолмайди ва ҳаволани яна иккинча каталогга киритишга тўғри келади. Шу тариқа чексиз давом этаверади. Кутубхоначилар нима қилиши керак энди?!
Бу хикоя – аҳмоқона ҳазил эмас, балки «Рассел парадокси» (чунки уни айнан Бертран Рассел) ўйлаб топган деб аталадиган муҳим математик парадокснинг соддалаштирилган тарзда баён қилинишидир. Ҳавола бўйича худди шу ҳолат мураккаблаштирувчи математик сўзлар билан изоҳланади.
2-қисм. Теорема
Бертран Рассел каталоглар ҳақида ўйланиб қолишига сабаб унинг ақлан шўх эканлиги ёки математикларнинг жаҳлини чиқариш нияти бўлмаган. Шунчаки математиклар ўша пайтга келиб, расмий мулоҳаза қоидалари доим ҳам иш бермаслиги ўзлари ҳам тушуниб қоладилар. Хусусан, «каталоглар» билан боғлиқ усул доим ҳам иш бермайди: қайсидир операция унинг ўзига нисбатан қўлланганда мантиққа жавоб бермайдиган алламбалолар рўй беради. Усулнинг ўзи ҳам бир қарашда ҳеч қандай шубҳа уйғотмайди: масалан, Георг Кантор ушбу усул билан ҳақиқий сонлар рационал сонлардан анча кўп эканлигини исботлаб берган ва бундай фикрлаш «Канторнинг диагонал усули» деб аталган. Канторда ҳаммаси қандай керакли бўлса, шундай рўй берганди; лекин бизнинг кутубхона билан боғлиқ ноқулай аҳвол шундан далолат берадики, доим ҳам қандай керакли бўлса, шундай рўй бермайди.
Мана шу фурсат майдонга математик Курт Гедель чиқиб келади. Агар уни бекорчи ўқувчининг ҳожати учун булғайдиган бўлсак, у қуйидаги ишни қилган: математик постулатлар (аксиомалар) расмий тизимин олган ва ундан мантиқий йўл билан ундан чиқариш мумкин бўлган ҳамма-ҳамма окибатларни рақамлаштирган (каталоглаштирган). Кейин «диагонал усул»дан фойдаланган ва бу рўхатда қандайдир тасдиқ (ҳақиқий тасдиқ!) аниқ бўлмаслигини исботлаб берган. Уни кейин аксиомалар рўйхатига кушиш, яна ҳамма ишни қайтадан бажариш мумкин… лекин барибир нимадир яна қолиб кетган бўлади. Бизнинг умидсизликка тушган кутубхоначиларимизда бўлгани каби, бу чексиз давом этади. Бу «Тўлиқсизлик ҳақида Гедель теоремаси» деб аталади. Математиклар дастлаб бу математиканинг якун деб ўйлашганди, лекин кейинчалик кўникиб қолдилар ва мана қарийб юз йилдирки (аниқроғи, 1931 йилдан бошлаб), шу билан яшамоқдалар.
З-қисм. Ақлли машинанинг ахмоқлиги
Айрим болаларга ота-оналари компьютер харид қилишни рад қилади ва болалар, гарчи компьютери бўлмасада, у ҳақида туну-кун ўйлай бошлайди. Шунга ўхшаш воқеа Алан Тьюринг билан ҳам рўй берган: у ҳали компьютерлар ҳеч кимнинг хаёлида ҳам бўлмаган йилларда компьютерлар ҳақида кўп ўйларди. У ҳозирда «алгоритм» деб аталадиган – маълум бир вазифани улар бўйича ҳал қилиш мумкин бўлган қоидалар тўпламини ўйлаб топган. Машина қадам-бақадам ҳаракатлар бажради ва охирида ечим чиқаради. Баъзида эса, агар вазифани ҳал қилиб бўлмайдиган бўлса, ечим бера олмайди. Масалан, агар машинадан дунёдаги энг катта рақамни айтиш сўралса, у рақамларни бирма-бир санаб чиқади, лекин доимо каттароқ рақам чиқади ва ҳеч қачон сизга жавоб бера олмайди.
Шундай қилиб, Тьюринг айрим алгоритмлар натижага олиб келиши, бошқалари эса олиб келмаслиги мумкинлигини тушунади. Қандайдир алгоритм оламиз ва унинг натижага олиб келиши мумкинлигини тушунишга ҳаракат қиламиз. Бу, умуман олганда, математик вазифалардан биридир. Боз устига, бундай вазифани жонли математиклар (тюринг компьютери эмас, бошида мияси бўлган одамлар) доимий равишда ечади: «Шундай рақам мавжудми...?» - бу умуман математик вазифанинг одатий ифодасидир.
Диагонал усул фокуслари ҳақида ёдда тутадиган зеҳни ўткир ўқувчи, - шундай бўладики, таомил ўзига нисбатан қўлланганда – гап нимада эканлигини тушуниб етган. Гап мана шундай: Тьюринг қандайдир ихтиёрий алгоритм муваффақиятга эришишини аниқлашга қодир бўлган алгоритм йўқ ва бўлиши ҳам мумкин эмаслигини исботлаб берди. Агар аниқроқ айтадиган булсак, алгоритмлар ҳам бизнинг каталогларга ўхшаш пистирмага дуч келади: Тьюринг фақат шу ҳолатда ечимга олиб келадиган алгоритм лойиҳасини ишлаб чиққанки, агарда у ечимга олиб келмаса.
Бу ҳикоямизнинг тўртинчи қисми учун етарли. Лекин бу ерда бир қайдни қўшимча қилиб ўтмасак, кечириб бўлмайдиган даражада юзакилик қилган бўламиз. Юқорида айтиб ўтилганидек, «…мавжудми?» ёки «…мавжуд эмаслигини исботланг» туридаги вазифаларни доимий равишда нафақат ашаддий математиклар, балки бешинчи синфдан бошлаб укувчилар ҳам ечадилар. Лекин шунга қарамай, Тьюрингга кўра, бу турдаги вазифаларни умуман расмий қоидалар бўйича ечиб бўлмайди. Бу ерда фантазия ва интуиция керак.
Инглиз математиги Роджер Пенроуз инсон фикрлаши алгоритмланмаслигини исботлаганда, тахминан шундай фикрлаган. Яъни инсон каби ўйлайдиган компьютерни ҳеч қачон яратишнинг имкони бўлмайди. Боз устига, агар бошдаги нейронлар фақат шунчаки алгоритмни бажаради (исталган даражада мураккаб, мустақил ўқийдиган, чизиқсиз, агалогли ва яна ҳар қандай, чунки ларнинг барчаси Тьюринг рўйхатида аввалдан бўлади) деб ўйласангиз, ноҳақ бўласиз. Улар ниманидир бошқача қилади. Агар қизиқиб қолган бўлсангиз, Пенроузнинг «Онг сояси» номли китобида биз мақоланинг бошидан гапириб келаётган нарсалар батафсил баён қилинган.
4-қисм. Лаънати кристалл
Рассел кутубхоначилар билан боғлиқ воқеани ўйлаб топган: ҳақиқатда кутубхоначилар бундай парадокслардан боши берк кўчага кириб қолиши амримаҳол. Гедель ўзининг «исботланмайдиган фикр»ини ҳам расман тузган (гарчи математиклар шу пайтдан буён бутун бошли мисоллар коллекциясини тузган бўлсаларда). Ниҳоят, Тьюринг ўзининг ҳал этилмайдиган алгоритмини сунъий тарзда лойиҳасини ишлаб чиққан. Кенг жамоатчиликка шу нарса тасалли берардики, инсоният олдида одамнинг мияси математиклар башорат қилган деворга бориб уриладиган реал вазифа ҳеч қачон юзага келмайди. Мисолларни ўйлаб топишга уриниб кўрилган, лекин уларнинг ҳаммаси ўйлаб чиқлиган бўлган.
Мана энди бизнинг инглиз, испан ва немис ёрдамга келади. Мана, дейишади улар, кристалл бор (тўғри, улар кристаллни анча ғалати қилиб ўйлаб топган, лекин кристаллар қандай бўлишини ким ҳам бўларди). Кристалл икки ўлчамли ва чексиз – уфқдан уфққача бўлган шундай нозик пластинка. Агар билсангиз, кристаллда энергетик даражалар бор (буни тушуниш керак, оддийгина боғланиш учун эмас), баъзида қуйи даражалар орасида тирқиш бўлади, баъзида – бўлмайди, шунда кристалл, масалан, ўтказиш қобилияти ўта юқори бўлиши мумкин**. Мана энди кристаллнинг ўтказиш қобилияти юқори бўлиши ёки бўлмаслигини аниқлашга ҳаракат қиламиз. Даражалар орасида тирқиш борми?
Мана шунда бу хусусиятни ҳисоблаб чиқиш дозим бўлган алгоритм – ҳақиқий парадоксал тьюрингча алгоритм эканлиги маълум бўлади. Яъни у натижага олиб келмайди. Бу алгоритм эканлиги учун эмас: бузилмас мантиқ тасдиқлайдики, ҲАР ҚАНДАЙ ҳисоб-китоб усули бу ерда деворга урилиши муқаррар. Математика ва мантиқ умуман олганда, масалан, бу ғалати кристаллда юқори ўтказиш қобилияти бўлишини олдиндан айтишга имкон бермайди. Яъни муайян якуний кристалл, албатта, ёки ундай, ёки бундай бўлади – бу ҳолатда алгоритм, барча атомларни кўриб чиқиб, натижа беради. Лекин атомларнинг қайсидир ррақамидан бошлаб ҳамма нарса ўзгармаслиги ва хусусият йўқолмаслигига ҳеч қандай кафолат йўқ. Кристаллнинг бу муҳим ўлчамини олдиндан аниқлашнинг ҳам имкони йўқ. Яъни «жуда-жуда мураккаб» эмас, ёки «коинот мавжуд бўлган пайтдан кўпроқ ҳисоблашга тўғри келади» эмас, балки умуман мумкин эмас.
Умид қиламанки, бу қанчалик муҳим аҳамият касб этиши тушуниб бўлдингиз. Агар бундай бўлмаса, бошига қайтамиз: одамлар (айниқса, олимлар) учун дунё мантиқ ва математика қоидаларига бўйсунади деб ўйлаш хосдир. Ва у дарҳақиқат бу қоидаларга бўйсунади ҳам. Мана шу коидаларга аниқ мувофиқ бўлган ҳолда бу дунёда математика нуқтаи назаридан ихтиёрий бўлган нарсалар бор. Яъни бундай бўлиши мумкин, ундай бўлиши мумкин, униси ҳам, буниси ҳам қаердан келмайди. Бундай ушбу «нарсалар» етти тоғ ортида эмас, бу синовлар йўли билан аниқлаш қийин бўлмаган ингича кристаллик пластинканинг оддий хусусияти бўлиши мумкин. Онг кучи билан олдинда найтишнинг эса – умуман имкони йўқ.
Бу ишни Nature журналининг оммавий қисмида батафсил ва тўлиқ ўқиб чиқиш мумкин. Таъкидлаш жоизки, муаллифларнинг ўзи жаҳон фани тарихида энг муҳим ҳодисани кашф қилгани ҳақида асло овоза қилмайдилар – улар жуда сунъий, табиатда ҳали учратилмаган кристалла ўйлаб топилди деб бир талай қўшимча шартлар киритадилар, уларнинг фикр-мулоҳазалари тўғри бўлсада, лекин уларда бир қарашда хато излашдан маъно йўқ. Эҳтимол, буларнинг барчаси иккинчи қарашдан кўра у қадар муҳим эмас (бир қарашда буларнинг ҳаммаси бемаънилик бўлиб кўринади, бу текшириб кўрилган). Лекин, афтидан, бу ҳақиқатдан ҳам муҳим.
Яна муаллиф тушунтирадиларки – бизнинг ўқувчиларга бунинг қизиғи йўқ, лекин шундай бўлса ҳам айтиб ўтишни жоиз деб топдик – худди шундай пистирма бошқа бир, «масса муаммоси» деб аталадиган муаммода ҳам бизни кутиб турган бўлиши мумкин. Нима учун зарралар массаси бундай, бошқача эмас? Бу «Янг-Миллс муаммоси» минг йиллик вазифаларидан бири деб аталган ва уни ҳал қилганлик учун миллион доллар мукофот ваъда қилинган. Агар кимдир уни умуман ечиб бўлмаслигини исбот қилса – бунинг учун ҳам барибир миллион доллар берилишини кутиш мумкин – ахир пуллар бекор кетмаслиги керакку. Агар бу нарса исботланса, демак, биз бу ерда батафсил ёзган нарсалар сафсата, бўлмағур гап эмас, ахир бунинг учун пул тўланяптику. Бу биринчи далиллар сизга етиб бормаган ҳолатлар учундир.
Ўқувчиларга (ўзимга ҳам) бу ерда гапириб ўтилган барча масалаларни чуқур танишиб чиқишни тилайман. Агар бунинг имкония бўлмаса, демак тақдир эмас экан.
Алексей Алексенко
Абу Муслим таржимаси
